Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x - 1}{3 x + 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x + 4) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $6 x + 8 - 6 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $0$ e $8$ .

$f' (x) = \frac{8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $8$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}$ come ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{2 \cdot - 1})$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + 4$ .

$f'' (x) = 11 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = 11 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 4$ .

$f'' (x) = 11 (- 2 {(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $11$ .

$f'' (x) = - 22 ({(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 2.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} \cdot 3$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $3$ per $- 22$ .

$f'' (x) = - 66 {(3 x + 4)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 66 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 66$ e $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- 66$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 66 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ come ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{3 \cdot - 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{- 3}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + 4$ .

$f''' (x) = - 66 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 66 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 4$ .

$f''' (x) = - 66 (- 3 {(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 66$ .

$f''' (x) = 198 ({(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 3.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + 0)$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} \cdot 3$

Passaggio 3.3.7.2

Moltiplica $3$ per $198$ .

$f''' (x) = 594 {(3 x + 4)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 594 (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

Passaggio 3.4.2

$594$ e $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $594$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $594 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ come ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1})$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{4 \cdot - 1})$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 4})$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (- 4 {(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $594$ .

$f^{4} (x) = - 2376 ({(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 4.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 4.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + 0)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} \cdot 3$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $3$ per $- 2376$ .

$f^{4} (x) = - 7128 {(3 x + 4)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 7128 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$- 7128$ e $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$