Calcolo Esempi

$y = 4 x - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{x} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 3.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$6 x^{- 4}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 4.5.2

$6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{6}{x^{4}}$