Calcolo Esempi

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.9

$3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 x^{- 2}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 x^{- 3} - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3.16

$- 2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 4 x^{- 3} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 x^{- 3} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ come ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{4}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{4}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

$\frac{4}{3}$ e $- 2$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 3.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.9.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.3.10

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.11

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.12

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{8}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Sposta $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 3.3.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.12.4

Somma $- 8$ e $1$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13

Sposta $x^{- \frac{7}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$12 x^{- 4} + 1 (\frac{2}{3}) \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 3.3.15

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$12 x^{- 4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 3.3.16

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ .

$12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Passaggio 3.3.17

Moltiplica $2$ per $4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

Passaggio 3.3.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$12 x^{- 4} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 3.4.2

$12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{4}$ .

$12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$12 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$12 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$12 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$12 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$12 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $\frac{8}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ come ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{7}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7}{3} \cdot - 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $\frac{7}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

$\frac{7}{3}$ e $- 2$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7 \cdot - 2}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2.2

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{- 14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 4.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 4.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 4.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}}))$

Passaggio 4.3.9.2

Sottrai $3$ da $7$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 4.3.10

$\frac{7}{3}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.11

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{14}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{14}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $x^{\frac{4}{3}}$ per $x^{- \frac{14}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.12.1

Sposta $x^{- \frac{14}{3}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 (x^{- \frac{14}{3}} x^{\frac{4}{3}})}{3})$

Passaggio 4.3.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{14}{3} + \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 4}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.12.4

Somma $- 14$ e $4$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 10}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{10}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.13

Sposta $x^{- \frac{10}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}})$

Passaggio 4.3.14

Moltiplica $\frac{8}{9}$ per $\frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}}$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{8 \cdot 7}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

Passaggio 4.3.15

Moltiplica $8$ per $7$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$- 48$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$