Calcolo Esempi

$y = 2 x^{\frac{3}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{\frac{3}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.8

$2$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.10

Scomponi $2$ da $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.11.4

Dividi $3 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.9

$- 6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.3.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.11

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.9

$3$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Passaggio 2.3.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.3.16

$3$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.2.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ come ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 3.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 3.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Passaggio 3.3.9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3.3.10

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.11

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2})$

Passaggio 3.3.12

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- 3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Sposta $x^{- 3}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Passaggio 3.3.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.12.3

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.12.4

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.6.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.12.6.2

Somma $- 6$ e $1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.12.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Passaggio 3.3.13

Sposta $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \cdot 3}{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}$

Passaggio 3.3.15

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}$

Passaggio 3.3.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- \frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ come ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.10

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.11

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- 3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.1

Sposta $x^{- 3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12.3

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12.4

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.6.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12.6.2

Somma $- 6$ e $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.12.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.13

Sposta $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{3}{4}) \cdot \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.15

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.16

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 \cdot 3}{4 (2 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.17

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{4 (2 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.2.18

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}})$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- \frac{9}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{9}{4 x^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ come ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}}))$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Passaggio 4.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 4.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}))$

Passaggio 4.3.9.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 4.3.10

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.11

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2})$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- 5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.12.1

Sposta $x^{- 5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2})$

Passaggio 4.3.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.12.3

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.12.4

$- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.12.6.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.12.6.2

Somma $- 10$ e $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.12.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

Passaggio 4.3.13

Sposta $x^{- \frac{7}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{9}{4} \cdot (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Passaggio 4.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + 1 (\frac{9}{4}) \cdot \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.3.15

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{9}{4} \cdot \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{9 \cdot 5}{4 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

Passaggio 4.3.17

Moltiplica $9$ per $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{45}{4 (2 x^{\frac{7}{2}})}$

Passaggio 4.3.18

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{45}{8 x^{\frac{7}{2}}}$