Calcolo Esempi

$y = 2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.3.9

$- 3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.3.12

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 2 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.2.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.2.16

$2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ come ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1})$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3} \cdot - 1})$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ e $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}})$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{3}})$

Passaggio 3.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{3}})$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}})$

Passaggio 3.9

$x^{- \frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3})$

Passaggio 3.10

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4)}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.11

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{9}$

Passaggio 3.11.3

Sposta $x^{- \frac{7}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $- \frac{8}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ come ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{3} \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{7}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

$\frac{7}{3}$ e $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{3}}$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{3}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1})$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 3}{3}})$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $3$ da $- 7$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 10}{3}})$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{10}{3}})$

Passaggio 4.9

$x^{- \frac{10}{3}}$ e $\frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3})$

Passaggio 4.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{8}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Passaggio 4.10.2

Moltiplica $\frac{8}{9}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{8}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $\frac{8}{9}$ per $\frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 (x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7)}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Moltiplica $7$ per $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.12.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{27}$

Passaggio 4.12.3

Sposta $x^{- \frac{10}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$