Calcolo Esempi

$G (r) = \sqrt{r} + \sqrt[9]{r}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{r} + \sqrt[9]{r}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[9]{r}]$ .

$f' (r) = \frac{d}{d r} (\sqrt{r}) + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{r}$ come $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (r) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} (\sqrt[9]{r})$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d r} [\sqrt[9]{r}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[9]{r}$ come $r^{\frac{1}{9}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{9}})$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} - 1}$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{1 - 9}{9}}$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $9$ da $1$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{\frac{- 8}{9}}$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (r) = \frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{9} r^{- \frac{8}{9}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} r^{- \frac{8}{9}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$ .

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}]$ .

$f'' (r) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $r$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ come ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.11

$\frac{1}{2}$ e $r^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- r^{- 1} \frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $r^{- 1}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2}} r^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $r^{- \frac{1}{2}}$ per $r^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{r^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $r^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (r) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{2 (2 r^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} (\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d r} [\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{1}{9 r^{\frac{8}{9}}}$ rispetto a $r$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}]$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{\frac{8}{9}}}$ come ${(r^{\frac{8}{9}})}^{- 1}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{8}{9}})}^{- 1})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{\frac{8}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{8}{9}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{8}{9}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{8}{9}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{8}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- {(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{8}{9}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{8}{9} \cdot - 2} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $\frac{8}{9} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

$\frac{8}{9}$ e $- 2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{8 \cdot - 2}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{\frac{- 16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8 - 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{8 - 9}{9}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $9$ da $8$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{\frac{- 1}{9}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} (\frac{8}{9} r^{- \frac{1}{9}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{8}{9}$ e $r^{- \frac{1}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- r^{- \frac{16}{9}} \frac{8 r^{- \frac{1}{9}}}{9})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{8 r^{- \frac{1}{9}}}{9}$ e $r^{- \frac{16}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{1}{9}} r^{- \frac{16}{9}}}{9})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $r^{- \frac{1}{9}}$ per $r^{- \frac{16}{9}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Sposta $r^{- \frac{16}{9}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 (r^{- \frac{16}{9}} r^{- \frac{1}{9}})}{9})$

Passaggio 2.3.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{16}{9} - \frac{1}{9}}}{9})$

Passaggio 2.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{\frac{- 16 - 1}{9}}}{9})$

Passaggio 2.3.13.4

Sottrai $1$ da $- 16$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{\frac{- 17}{9}}}{9})$

Passaggio 2.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8 r^{- \frac{17}{9}}}{9})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $r^{- \frac{17}{9}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{9} \cdot (- \frac{8}{9 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{8}{9 r^{\frac{17}{9}}}$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{9 (9 r^{\frac{17}{9}})}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}]$ .

$f''' (r) = \frac{d}{d r} (- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $r$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d r} \frac{1}{r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}$ come ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d r} {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.10

$\frac{3}{2}$ e $r^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- r^{- 3} \frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.11

$\frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $r^{- 3}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{1}{2}} r^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $r^{\frac{1}{2}}$ per $r^{- 3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Sposta $r^{- 3}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 (r^{- 3} r^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12.3

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12.4

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.6.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12.6.2

Somma $- 6$ e $1$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.12.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 r^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.13

Sposta $r^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (r) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f''' (r) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f''' (r) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.16

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{4 (2 r^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.2.17

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} (- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d r} [- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{8}{81}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- \frac{8}{81 r^{\frac{17}{9}}}$ rispetto a $r$ è $- \frac{8}{81} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}]$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot \frac{d}{d r} \frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{\frac{17}{9}}}$ come ${(r^{\frac{17}{9}})}^{- 1}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot \frac{d}{d r} {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{\frac{17}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{17}{9}}))$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{17}{9}})$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{17}{9}})$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{17}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- {(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{17}{9}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{17}{9} \cdot - 2} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $\frac{17}{9} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.2.1

$\frac{17}{9}$ e $- 2$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{17 \cdot - 2}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2.2

Moltiplica $17$ per $- 2$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{\frac{- 34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1}))$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

Passaggio 3.3.7

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17 - 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 3.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{17 - 9}{9}}))$

Passaggio 3.3.9.2

Sottrai $9$ da $17$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} (\frac{17}{9} r^{\frac{8}{9}}))$

Passaggio 3.3.10

$\frac{17}{9}$ e $r^{\frac{8}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- r^{- \frac{34}{9}} \frac{17 r^{\frac{8}{9}}}{9})$

Passaggio 3.3.11

$\frac{17 r^{\frac{8}{9}}}{9}$ e $r^{- \frac{34}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{8}{9}} r^{- \frac{34}{9}}}{9})$

Passaggio 3.3.12

Moltiplica $r^{\frac{8}{9}}$ per $r^{- \frac{34}{9}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Sposta $r^{- \frac{34}{9}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 (r^{- \frac{34}{9}} r^{\frac{8}{9}})}{9})$

Passaggio 3.3.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{- \frac{34}{9} + \frac{8}{9}}}{9})$

Passaggio 3.3.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{- 34 + 8}{9}}}{9})$

Passaggio 3.3.12.4

Somma $- 34$ e $8$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{\frac{- 26}{9}}}{9})$

Passaggio 3.3.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17 r^{- \frac{26}{9}}}{9})$

Passaggio 3.3.13

Sposta $r^{- \frac{26}{9}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{8}{81} \cdot (- \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + 1 (\frac{8}{81}) \cdot \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$

Passaggio 3.3.15

Moltiplica $\frac{8}{81}$ per $1$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{8}{81} \cdot \frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$

Passaggio 3.3.16

Moltiplica $\frac{8}{81}$ per $\frac{17}{9 r^{\frac{26}{9}}}$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{8 \cdot 17}{81 (9 r^{\frac{26}{9}})}$

Passaggio 3.3.17

Moltiplica $8$ per $17$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{81 (9 r^{\frac{26}{9}})}$

Passaggio 3.3.18

Moltiplica $9$ per $81$ .

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}]$ .

$f^{4} (r) = \frac{d}{d r} (\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $\frac{3}{8}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $r$ è $\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}$ come ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $r^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{5}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $r^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.5.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.9.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.10

$\frac{5}{2}$ e $r^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- r^{- 5} \frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.11

$\frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $r^{- 5}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{3}{2}} r^{- 5}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12

Moltiplica $r^{\frac{3}{2}}$ per $r^{- 5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.1

Sposta $r^{- 5}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 (r^{- 5} r^{\frac{3}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12.3

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12.4

$- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.6.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12.6.2

Somma $- 10$ e $3$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{\frac{- 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.12.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 r^{- \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.13

Sposta $r^{- \frac{7}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (r) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}) + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.14

Moltiplica $\frac{3}{8}$ per $\frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.15

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.2.16

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d r} (\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d r} [\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $\frac{136}{729}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{136}{729 r^{\frac{26}{9}}}$ rispetto a $r$ è $\frac{136}{729} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}}]$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot \frac{d}{d r} (\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}})$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{\frac{26}{9}}}$ come ${(r^{\frac{26}{9}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot \frac{d}{d r} ({(r^{\frac{26}{9}})}^{- 1})$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{\frac{26}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $r^{\frac{26}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d r} (r^{\frac{26}{9}}))$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{26}{9}})$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $r^{\frac{26}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2} \frac{d}{d r} r^{\frac{26}{9}})$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = \frac{26}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- {(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{26}{9}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{26}{9} \cdot - 2} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $\frac{26}{9} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

$\frac{26}{9}$ e $- 2$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{26 \cdot - 2}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2.2

Moltiplica $26$ per $- 2$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{\frac{- 52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1}))$

Passaggio 4.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}))$

Passaggio 4.3.7

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 4.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26 - 1 \cdot 9}{9}}))$

Passaggio 4.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{26 - 9}{9}}))$

Passaggio 4.3.9.2

Sottrai $9$ da $26$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} (\frac{26}{9} r^{\frac{17}{9}}))$

Passaggio 4.3.10

$\frac{26}{9}$ e $r^{\frac{17}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- r^{- \frac{52}{9}} \frac{26 r^{\frac{17}{9}}}{9})$

Passaggio 4.3.11

$\frac{26 r^{\frac{17}{9}}}{9}$ e $r^{- \frac{52}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{17}{9}} r^{- \frac{52}{9}}}{9})$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $r^{\frac{17}{9}}$ per $r^{- \frac{52}{9}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.12.1

Sposta $r^{- \frac{52}{9}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 (r^{- \frac{52}{9}} r^{\frac{17}{9}})}{9})$

Passaggio 4.3.12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{- \frac{52}{9} + \frac{17}{9}}}{9})$

Passaggio 4.3.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{- 52 + 17}{9}}}{9})$

Passaggio 4.3.12.4

Somma $- 52$ e $17$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{\frac{- 35}{9}}}{9})$

Passaggio 4.3.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26 r^{- \frac{35}{9}}}{9})$

Passaggio 4.3.13

Sposta $r^{- \frac{35}{9}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{136}{729} \cdot (- \frac{26}{9 r^{\frac{35}{9}}})$

Passaggio 4.3.14

Moltiplica $\frac{136}{729}$ per $\frac{26}{9 r^{\frac{35}{9}}}$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{136 \cdot 26}{729 (9 r^{\frac{35}{9}})}$

Passaggio 4.3.15

Moltiplica $136$ per $26$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{729 (9 r^{\frac{35}{9}})}$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $9$ per $729$ .

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $G (r)$ rispetto a $r$ è $- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$ .

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{3536}{6561 r^{\frac{35}{9}}}$