Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

Passaggio 1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

Passaggio 1.2.6.2

$\frac{1}{3 x - 1}$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{3 x - 1}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\frac{1}{3 x - 1}$ come ${(3 x - 1)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 9$ e $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ come ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 1$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 9$ .

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

Passaggio 3.3.7.2

Moltiplica $3$ per $18$ .

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 3.4.2

$54$ e $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ come ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 1$ .

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 1$ .

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 3$ per $54$ .

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $3$ per $- 162$ .

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$- 486$ e $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$