Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{4 - 7 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 - 7 x$ .

$\frac{(4 - 7 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(4 - 7 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $4 - 7 x$ per $1$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 - 7 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [- 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 - 7 x - x (- 7 \frac{d}{d x} [x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \frac{d}{d x} [x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x \cdot 1}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{4 - 7 x + 7 x}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9.2

Somma $- 7 x$ e $7 x$ .

$\frac{4 + 0}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.3.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9.3.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ come ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = - 7 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 7 x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 7 x + 4$ .

$4 (- 2 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 ({(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 7 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $- 7$ e $0$ .

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \cdot - 7$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $- 7$ per $- 8$ .

$56 {(- 7 x + 4)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$56 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

$56$ e $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $56$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$ .

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ come ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = - 7 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 7 x + 4$ .

$56 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$56 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 7 x + 4$ .

$56 (- 3 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $56$ .

$- 168 ({(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 7 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + 0)$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $- 7$ e $0$ .

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \cdot - 7$

Passaggio 3.3.7.2

Moltiplica $- 7$ per $- 168$ .

$1176 {(- 7 x + 4)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1176 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

$1176$ e $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $1176$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$ .

$1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ come ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 4}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = - 7 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 7 x + 4$ .

$1176 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$1176 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 7 x + 4$ .

$1176 (- 4 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $1176$ .

$- 4704 ({(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 7 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + 0)$

Passaggio 4.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Somma $- 7$ e $0$ .

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \cdot - 7$

Passaggio 4.3.7.2

Moltiplica $- 7$ per $- 4704$ .

$32928 {(- 7 x + 4)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32928 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

$32928$ e $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$