Calcolo Esempi

$y = (5 x^{2} - 1) (3 x^{3} + x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 x^{2} - 1$ e $g (x) = 3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (3 x^{3} + x) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.2.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Passaggio 1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Somma $10 x$ e $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x)$

Passaggio 1.2.11.2

Sposta $10$ alla sinistra di $3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 \cdot ((3 x^{3} + x) x)$

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 \cdot ((3 x^{3} + x) x)$

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 \cdot ((3 x^{3} + x) x)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (10 (3 x^{3}) + 10 x) x$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $9$ per $5$ .

$f' (x) = 45 x^{2} x^{2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = 45 (x^{2} x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 45 x^{2 + 2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

$f' (x) = 45 x^{4} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.6

Somma $- 9 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.7

Moltiplica $3$ per $10$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 (x \cdot x^{3}) + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.10

Somma $1$ e $3$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

Passaggio 1.3.6.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

Passaggio 1.3.6.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Passaggio 1.3.6.14

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.15

Somma $45 x^{4}$ e $30 x^{4}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.16

Somma $- 4 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$

$f' (x) = 75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$

$f' (x) = 75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$

$f' (x) = 75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (75 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [75 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $75$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $75 x^{4}$ rispetto a $x$ è $75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 75 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $75$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$f'' (x) = 300 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $300 x^{3} + 12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x$

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x$

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $300 x^{3} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [300 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [300 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $300$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $300 x^{3}$ rispetto a $x$ è $300 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 300 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = 300 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $300$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

$f''' (x) = 900 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12$

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12$

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $900 x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [900 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (900 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [900 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $900$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $900 x^{2}$ rispetto a $x$ è $900 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 900 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 900 (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $900$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + \frac{d}{d x} (12)$

$f^{4} (x) = 1800 x + \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $1800 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x$

$f^{4} (x) = 1800 x$

$f^{4} (x) = 1800 x$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$