Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\ln (x)}{10 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\ln (x)}{10 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Scomponi $x$ da $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Moltiplica $- 2 (- \ln (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.2.1.2.2

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.4

Scomponi $- 1$ da $\ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Passaggio 2.8.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.2.2.4

Dividi $x$ per $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.11

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.11.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.11.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Passaggio 3.11.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Passaggio 3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.12.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ per $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 10}$

Passaggio 3.14

Sposta $10$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{10 \cdot x^{4}}$

Passaggio 3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.2.1.2

Moltiplica $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.2.1.2.2

Semplifica $3 \ln (x^{2})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.2.2

Sottrai $9$ da $- 2$ .

$- \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.3

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$- \frac{- 1 (11) + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.4

Scomponi $- 1$ da $\ln (x^{6})$ .

$- \frac{- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$- \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Passaggio 3.15.8

Moltiplica $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$

Passaggio 4.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $11 - \ln (x^{6})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.3.3

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x^{6})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4.2

$- 6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4.3

$\frac{- 6}{x^{2}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4.4

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.4.4.2.4

Dividi $- 6 x^{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.6.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.6.2

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

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Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot 11 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1.1

Moltiplica $- 4$ per $11$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.3.1.2

Moltiplica $- 4 (- \ln (x^{6}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.3.1.2.2

Semplifica $4 \ln (x^{6})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.3.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.3.1.3.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.3.2

Sottrai $44 x^{3}$ da $- 6 x^{3}$ .

$\frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.3.3

Riordina i fattori in $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ .

$\frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.4

Scomponi $x^{3}$ da $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.1

Scomponi $x^{3}$ da $- 50 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.4.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} \ln (x^{24})$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.4.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ .

$\frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.5

Espandi $\ln (x^{24})$ spostando $24$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{10 x^{8}}$

Passaggio 4.6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.6.1

Scomponi $x^{3}$ da $10 x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Passaggio 4.6.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Passaggio 4.6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 50 + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Passaggio 4.6.7

Elimina il fattore comune di $- 50 + 24 \ln (x)$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.7.1

Scomponi $2$ da $- 50$ .

$\frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Passaggio 4.6.7.2

Scomponi $2$ da $24 \ln (x)$ .

$\frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Passaggio 4.6.7.3

Scomponi $2$ da $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ .

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Passaggio 4.6.7.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.7.4.1

Scomponi $2$ da $10 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Passaggio 4.6.7.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Passaggio 4.6.7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 25 + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Passaggio 4.6.8

Riscrivi $- 25$ come $- 1 (25)$ .

$\frac{- 1 (25) + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Passaggio 4.6.9

Scomponi $- 1$ da $12 \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (25) - (- 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Passaggio 4.6.10

Scomponi $- 1$ da $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ .

$\frac{- 1 (25 - 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Passaggio 4.6.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$