Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \ln (x) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \ln (x) + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.2.3

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{2}{x}$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Passaggio 4.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$