Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} \cos (6 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2} \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \cdot 1) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Passaggio 1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$- 12 (x^{2} (\sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 \cos (6 x) x$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2} \sin (6 x)$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.2.8

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $\cos (6 x)$ per $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $6$ per $- 12$ .

$- 72 (x^{2} (\cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 (\sin (6 x) (x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Passaggio 2.4.3.3

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 \sin (6 x) x - 24 (x (\sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Passaggio 2.4.3.4

Sottrai $24 x \sin (6 x)$ da $- 24 \sin (6 x) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Sposta $\sin (6 x)$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 x \sin (6 x) - 24 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Passaggio 2.4.3.4.2

Sottrai $24 x \sin (6 x)$ da $- 24 x \sin (6 x)$ .

$f'' (x) = - 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72 x^{2} \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x \sin (6 x)$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.8

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cdot \cos (6 x)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\sin (6 x)$ per $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.4.2.2

La derivata di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $- \sin (u_{3})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.4.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \cdot 6)$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- 6 \sin (6 x))$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $- 6$ per $- 72$ .

$432 (x^{2} (\sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 72$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 (\cos (6 x) (x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5.3.3

Moltiplica $6$ per $- 48$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 \cos (6 x) x - 288 (x (\cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5.3.4

Sottrai $288 x \cos (6 x)$ da $- 144 \cos (6 x) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.4.1

Sposta $\cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 x \cos (6 x) - 288 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5.3.4.2

Sottrai $288 x \cos (6 x)$ da $- 144 x \cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Passaggio 3.5.3.5

Sottrai $24 \sin (6 x)$ da $- 48 \sin (6 x)$ .

$f''' (x) = 432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $432$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $432 x^{2} \sin (6 x)$ rispetto a $x$ è $432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (6 x)$ .

$432 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$432 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$432 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.2.8

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 432$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 432 x \cos (6 x)$ rispetto a $x$ è $- 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $\cos (6 x)$ per $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Passaggio 4.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72 \sin (6 x)$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Passaggio 4.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 4.4.2.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 4.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 4.4.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

Passaggio 4.4.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \cdot 6)$

Passaggio 4.4.6

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (6 \cdot \cos (6 x))$

Passaggio 4.4.7

Moltiplica $6$ per $- 72$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Moltiplica $6$ per $432$ .

$2592 (x^{2} (\cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5.3.2

Moltiplica $2$ per $432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 (\sin (6 x) (x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5.3.3

Moltiplica $- 6$ per $- 432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 \sin (6 x) x + 2592 (x (\sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5.3.4

Somma $864 \sin (6 x) x$ e $2592 x \sin (6 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.4.1

Sposta $\sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 x \sin (6 x) + 2592 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5.3.4.2

Somma $864 x \sin (6 x)$ e $2592 x \sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Passaggio 4.5.3.5

Sottrai $432 \cos (6 x)$ da $- 432 \cos (6 x)$ .

$f^{4} (x) = 2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$