Calcolo Esempi

$f (x) = {(2 x + 1)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 1)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 {(2 x + 1)}^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{3})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = 24 ({(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 1)}^{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(2 x + 1)}^{2}$ come $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 ((2 x + 1) (2 x + 1)))$

Passaggio 3.2

Espandi $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)))$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)))$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1))$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 4 x + 1))$

Passaggio 3.4

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 (4 x^{2} + 4 x + 1)$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$ .

$f''' (x) = 48 \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 4 x + 1)$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 48 (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 48 (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = 48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.11

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 3.12

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + 0)$

Passaggio 3.13

Somma $8 x + 4$ e $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4)$

Passaggio 3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = 48 (8 x) + 48 \cdot 4$

Passaggio 3.14.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.2.1

Moltiplica $8$ per $48$ .

$f''' (x) = 384 x + 48 \cdot 4$

Passaggio 3.14.2.2

Moltiplica $48$ per $4$ .

$f''' (x) = 384 x + 192$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $384 x + 192$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [192]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (384 x) + \frac{d}{d x} (192)$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $384$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $384 x$ rispetto a $x$ è $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 384 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (192)$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (192)$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $384$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 384 + \frac{d}{d x} (192)$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $192$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $192$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = 384 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $384$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 384$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $384$ .

$384$