Calcolo Esempi

$f (x) = \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Passaggio 2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Passaggio 2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 3.4.2

Somma $4 \cos (x) \sin (x)$ e $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 4.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 4.4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 4.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 4.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 4.7

Somma $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 4.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 4.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Passaggio 4.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Passaggio 4.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 4.12

Somma $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 4.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 4.13.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$