Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{6}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{x^{2} + 3}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 3}$ come ${(x^{2} + 3)}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$6 (- {(x^{2} + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 ({(x^{2} + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 {(x^{2} + 3)}^{- 2} x$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

$- 12$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2.3

$x$ e $\frac{12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.4

Sposta $12$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 3)}^{2}$ per $1$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 3$ da $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 3$ da $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $x^{2} + 3$ da ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.14

Somma $1$ e $1$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 12 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16

$- 12$ e $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$- \frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}] + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.2

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 36 x^{2} + 36] - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 36 x^{2} + 36] - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 36 x^{2} + 36] - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 36 x^{2} + 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.6

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x + 0) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.7

Somma $- 72 x$ e $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) (2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5.5.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Moltiplica $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ per $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + 0$

Passaggio 3.5.7.2

Somma $- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$ e $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) + (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ da ${(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) + (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) {(x^{2} + 3)}^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ da ${(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x)$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72)) + (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) {(x^{2} + 3)}^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ da $(- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) {(x^{2} + 3)}^{2} x$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72)) + {(x^{2} + 3)}^{2} x (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.1.3

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ da ${(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72)) + {(x^{2} + 3)}^{2} x (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36)$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72) - 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Moltiplica $- 36$ per $- 6$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72) + 216 x^{2} - 6 \cdot 36)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Moltiplica $- 6$ per $36$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72) + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (x^{2} \cdot - 72 + 3 \cdot - 72 + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.3.2

Sposta $- 72$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (- 72 \cdot x^{2} + 3 \cdot - 72 + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 72$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (- 72 x^{2} - 216 + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.4

Somma $- 72 x^{2}$ e $216 x^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 x^{2} - 216 - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.5

Sottrai $216$ da $- 216$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 x^{2} - 432)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.6

Scomponi $144$ da $144 x^{2} - 432$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.6.1

Scomponi $144$ da $144 x^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 (x^{2}) - 432)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.6.2

Scomponi $144$ da $- 432$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 x^{2} + 144 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.2.6.3

Scomponi $144$ da $144 x^{2} + 144 \cdot - 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x \cdot 144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Sposta $144$ alla sinistra di ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ .

$- \frac{144 \cdot ({(x^{2} + 3)}^{2} x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.3.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 3)}^{2}$ e ${(x^{2} + 3)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{2}$ da $144 {(x^{2} + 3)}^{2} x (x^{2} - 3)$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (144 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Passaggio 3.6.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{2}$ da ${(x^{2} + 3)}^{6}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (144 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.6.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (144 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.6.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = - \frac{144 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $- 144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{144 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 144 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}]$ .

$- 144 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}]$

Passaggio 4.2

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)] - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{({(x^{2} + 3)}^{4})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 3)}^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)] - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)] - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 3$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.5.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.5.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Somma $1$ e $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.9.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1

Moltiplica $x^{2} - 3$ per $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.9.3.2

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.10.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (4 {(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.11

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.11.2

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{3}$ da ${(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{3}$ da ${(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3)$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) - 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.11.2.2

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{3}$ da $- 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 3)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.11.2.3

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{3}$ da ${(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 3)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Passaggio 4.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Scomponi ${(x^{2} + 3)}^{3}$ da ${(x^{2} + 3)}^{8}$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{3} {(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.12.2

Elimina il fattore comune.

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{3} {(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi l'espressione.

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.15

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.16.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x (x^{2} - 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 (x^{1} x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 (x^{1} x^{1}) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.20

Somma $1$ e $1$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.21

$- 144$ e $\frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$ .

$\frac{- 144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{144 (x^{2} (3 x^{2} - 3) + 3 (3 x^{2} - 3)) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{144 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2} - 3)) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{144 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{144 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$- \frac{144 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{144 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.1.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} - 3 \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 9 x^{2} + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 9 x^{2} - 9) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.2.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} + 6 x^{2} - 9) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{144 (3 x^{4}) + 144 (6 x^{2}) + 144 \cdot - 9 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.4.1

Moltiplica $3$ per $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 144 (6 x^{2}) + 144 \cdot - 9 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.4.2

Moltiplica $6$ per $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} + 144 \cdot - 9 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.4.3

Moltiplica $144$ per $- 9$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.3.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 x^{2 + 2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 x^{4}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.6

Moltiplica $- 8$ per $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 - 1152 x^{4} + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.7

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 - 1152 x^{4} + 144 (24 x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.1.8

Moltiplica $24$ per $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 - 1152 x^{4} + 3456 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.2

Sottrai $1152 x^{4}$ da $432 x^{4}$ .

$- \frac{- 720 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 3456 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.3.3

Somma $864 x^{2}$ e $3456 x^{2}$ .

$- \frac{- 720 x^{4} + 4320 x^{2} - 1296}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.4

Scomponi $144$ da $- 720 x^{4} + 4320 x^{2} - 1296$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.23.4.1

Scomponi $144$ da $- 720 x^{4}$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4}) + 4320 x^{2} - 1296}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.4.2

Scomponi $144$ da $4320 x^{2}$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4}) + 144 (30 x^{2}) - 1296}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.4.3

Scomponi $144$ da $- 1296$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4}) + 144 (30 x^{2}) + 144 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.4.4

Scomponi $144$ da $144 (- 5 x^{4}) + 144 (30 x^{2})$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4} + 30 x^{2}) + 144 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.4.5

Scomponi $144$ da $144 (- 5 x^{4} + 30 x^{2}) + 144 (- 9)$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.5

Scomponi $- 1$ da $- 5 x^{4}$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4}) + 30 x^{2} - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.6

Scomponi $- 1$ da $30 x^{2}$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4}) - (- 30 x^{2}) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.7

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{4}) - (- 30 x^{2})$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4} - 30 x^{2}) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.8

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4} - 30 x^{2}) - 1 (9))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.9

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{4} - 30 x^{2}) - 1 (9)$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.10

Riscrivi $- (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)$ come $- 1 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)$ .

$- \frac{144 (- 1 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 4.23.13

Moltiplica $\frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$ .

$\frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$