Calcolo Esempi

$\int (2 x + 5) {(x^{2} + 5 x)}^{7} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 5 x$ . Allora $d u = (2 x + 5) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$2 x + 5$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{7} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{1}{8} {(x^{2} + 5 x)}^{8} + C$