Calcolo Esempi

$\int 15 x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 15 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 15 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , sposta $15$ fuori dall'integrale.

$15 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 \sqrt{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$15 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$15$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $15$ per $2$ .

$\frac{30}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $30$ e $5$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Scomponi $5$ da $30$ .

$\frac{5 \cdot 6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 \cdot 6}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.4

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$