Calcolo Esempi

$\int \frac{2}{x - 4} - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = x - 4$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = x - 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Passaggio 7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = 2 x + 1$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 8.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$2 \ln (| u_{1} |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 4$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$