Calcolo Esempi

$\int (x^{2} + 5 x + 6) \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{2} \cos (2 x) + 5 x \cos (2 x) + 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} \cos (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 4.2

$x^{2}$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\int \sin (2 x) (x) d x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 8.2

$x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 8.3

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 12

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 12.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 13

$\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 16

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 17

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 \int x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 18

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 19.2

$x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 19.3

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 20

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 21

Sia $u_{2} = 2 x$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Sia $u_{2} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 21.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 21.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 21.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 21.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 22

$\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 23

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2})) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 24

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 24.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 25

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Passaggio 26

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (2 x) d x$

Passaggio 27

Sia $u_{3} = 2 x$ . Allora $d u_{3} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Sia $u_{3} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 27.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 27.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 27.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 27.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}$

Passaggio 28

$\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}$

Passaggio 29

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Passaggio 30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.1

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{6}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 30.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 30.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 30.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 30.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{3}{1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 30.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Passaggio 31

L'integrale di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sin (u_{3})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 (\sin (u_{3}) + C)$

Passaggio 32

Semplifica.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u_{1})}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Passaggio 33

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Passaggio 33.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Passaggio 33.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (2 x) + C$

Passaggio 34

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x \cos (2 x) - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{5}{2} x \sin (2 x) + \frac{5}{4} \cos (2 x) + 3 \sin (2 x) + C$