Calcolo Esempi

$\int \sqrt{r} - \frac{1}{r^{3}} d r$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sqrt{r} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{r}$ come $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\int r^{\frac{1}{2}} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $r^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $r$ è $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $r$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{r^{3}} d r$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $r^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int {(r^{3})}^{- 1} d r$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{3 \cdot - 1} d r$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{- 3} d r$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $r^{- 3}$ rispetto a $r$ è $- \frac{1}{2} r^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2} r^{- 2} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

$r^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{r^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 7.1.2

Sposta $r^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2 r^{2}} + C)$

Passaggio 7.2

Semplifica.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} - - \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2 r^{2}}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 r^{2}} + C$