Calcolo Esempi

$\int t^{3} + e^{5 t} d t$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int t^{3} d t + \int e^{5 t} d t$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{3}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{5 t} d t$

Passaggio 3

Sia $u = 5 t$ . Allora $d u = 5 d t$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = 5 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 4

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 t$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{5 t} + C$