Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

Passaggio 1.1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi $2 x^{2} - x + 4$ per $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A (x^{2} + 4)$ per $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Passaggio 1.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 1.1.6.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.6.6.1

Sposta $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 1.1.6.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.7

Sposta $4 A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = 4 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = - 1$ .

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 4$ .

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 4$ e semplifica.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.3.1

Dividi $4$ per $4$ .

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + B$ con $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $B$ in $2 = 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Passaggio 1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = 1 C = - 1$

Passaggio 1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = 1, C = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 4

Dividi la frazione $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ in due frazioni.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 7

Sia $u = x^{2} + 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Riordina $x^{2}$ e $4$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Passaggio 12.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Passaggio 14.2

Semplifica.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$