Calcolo Esempi

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x - 1$ e $d v = \sin (π x)$ .

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

Passaggio 2

Poiché $- \frac{1}{π}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\cos (π x)$ e $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Passaggio 5

$\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

Passaggio 7.2

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

Passaggio 7.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

Passaggio 7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

Passaggio 7.5

Somma $1$ e $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

Passaggio 9

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Passaggio 9.1

Riscrivi $(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ come $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ .

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Passaggio 9.2

$\frac{\cos (π x)}{π}$ e $x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riordina i fattori in $\frac{\cos (π x) x}{π}$ .

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Passaggio 11.2

Riordina i termini.

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$