Calcolo Esempi

$\int (x + 14) \sqrt{28 x + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 28 x + x^{2}$ . Allora $d u = (2 x + 28) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x + 14) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 28 x + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $28 x + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [28 x + x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $28 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [28 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28 x$ rispetto a $x$ è $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $28$ per $1$ .

$28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 1.1.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$28 + 2 x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$2 x + 28$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $28 x + x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(28 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$