Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = e^{x} + 1$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = e^{x} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + 1$ .

$2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$