Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{r}}{1 + e^{r}} d r$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + e^{r}$ . Allora $d u = e^{r} d r$ , quindi $\frac{1}{e^{r}} d u = d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + e^{r}$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + e^{r}$ .

$\frac{d}{d r} [1 + e^{r}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{r}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [e^{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [e^{r}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $1$ rispetto a $r$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [e^{r}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ è $a^{r} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{r}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $e^{r}$ .

$e^{r}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + e^{r}$ .

$\ln (| 1 + e^{r} |) + C$