Calcolo Esempi

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ come $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ .

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Passaggio 1.2

Espandi $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $\csc (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 1.3.1.1.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.1.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Riordina $\csc (x)$ e $- \tan (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.2.2

Aggiungi le parentesi.

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.2.3

Riscrivi $\csc (x) (- \tan (x))$ in termini di seno e coseno.

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.2.4

Elimina i fattori comuni.

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 1.3.1.4.1

Aggiungi le parentesi.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.4.2

Riscrivi $- \tan (x) \csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.4.3

Elimina i fattori comuni.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Passaggio 1.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

Passaggio 1.3.1.6.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Passaggio 1.3.1.6.3

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 1.3.1.6.4

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Passaggio 1.3.1.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 1.3.1.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $\sec (x)$ da $- \sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Poiché la derivata di $- \cot (x)$ è $\csc^{2} (x)$ , l'integrale di $\csc^{2} (x)$ è $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$