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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3
Calcola .
Passaggio 3.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 4
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 5
Dividi per ciascun termine dell'equazione.
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 7
Frazioni separate.
Passaggio 8
Converti da a .
Passaggio 9
Dividi per .
Passaggio 10
Frazioni separate.
Passaggio 11
Converti da a .
Passaggio 12
Dividi per .
Passaggio 13
Moltiplica per .
Passaggio 14
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 15
Passaggio 15.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 15.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 15.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 15.2.2
Dividi per .
Passaggio 15.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 15.3.1
Dividi per .
Passaggio 16
Trova il valore dell'incognita corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.
Passaggio 17
Passaggio 17.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 18
La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da per determinare la soluzione nel quarto quadrante.
Passaggio 19
Passaggio 19.1
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 19.2
Riduci le frazioni.
Passaggio 19.2.1
e .
Passaggio 19.2.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 19.3
Semplifica il numeratore.
Passaggio 19.3.1
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 19.3.2
Somma e .
Passaggio 20
La soluzione dell'equazione .
Passaggio 21
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 22
Passaggio 22.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 22.1.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 22.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 22.2
Semplifica i termini.
Passaggio 22.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 22.2.2
Sottrai da .
Passaggio 22.2.3
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 22.2.3.1
Scomponi da .
Passaggio 22.2.3.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 22.2.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 22.2.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 22.2.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 22.2.3.2.4
Dividi per .
Passaggio 23
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 24
Passaggio 24.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 24.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 24.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 24.2.1.1
Il valore esatto di è .
Passaggio 24.2.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 24.2.2
Semplifica i termini.
Passaggio 24.2.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 24.2.2.2
Somma e .
Passaggio 24.2.2.3
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 24.2.2.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 24.2.2.3.2
Dividi per .
Passaggio 24.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 25
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 26
Passaggio 26.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 26.1.1
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 26.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 26.1.3
Moltiplica .
Passaggio 26.1.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 26.1.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 26.1.4
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 26.1.5
Il valore esatto di è .
Passaggio 26.1.6
Moltiplica .
Passaggio 26.1.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 26.1.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 26.2
Semplifica i termini.
Passaggio 26.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 26.2.2
Somma e .
Passaggio 26.2.3
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 26.2.3.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 26.2.3.2
Dividi per .
Passaggio 27
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 28
Passaggio 28.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 28.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 28.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 28.2.1.1
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 28.2.1.2
Il valore esatto di è .
Passaggio 28.2.1.3
Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.
Passaggio 28.2.1.4
Il valore esatto di è .
Passaggio 28.2.2
Semplifica i termini.
Passaggio 28.2.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 28.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 28.2.2.3
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 28.2.2.3.1
Scomponi da .
Passaggio 28.2.2.3.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 28.2.2.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 28.2.2.3.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 28.2.2.3.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 28.2.2.3.2.4
Dividi per .
Passaggio 28.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 29
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
è un minimo locale
Passaggio 30