Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.3.4.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (0)}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{1 + \sec^{2} (0)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{1 + 1^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 11.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2}$