Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.6

Sposta $7$ alla sinistra di $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $7$ per $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.8.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)}$

Passaggio 3.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Passaggio 3.12

Sposta $3$ alla sinistra di $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \cdot \sec^{2} (3 x)}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $3$ per $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{7}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (3 x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 10

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 11.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

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Passaggio 12.1

Combina.

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Passaggio 12.2

Scomponi $\sec (3 \cdot 0)$ da $\sec^{2} (3 \cdot 0)$ .

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 (\sec (3 \cdot 0) \sec (3 \cdot 0))}$

Passaggio 12.3

Frazioni separate.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec (3 \cdot 0)}$

Passaggio 12.4

Riscrivi $\sec (3 \cdot 0)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}}$

Passaggio 12.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ .

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Passaggio 12.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Passaggio 12.7

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (3 \cdot 0))$

Passaggio 12.8

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Passaggio 12.9

Frazioni separate.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Passaggio 12.10

Riscrivi $\sec (0)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Passaggio 12.11

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{7}{3} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Passaggio 12.12

Moltiplica $\cos (0)$ per $1$ .

$\frac{7}{3} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Passaggio 12.13

Moltiplica $\cos (0)$ per $\cos (0)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.13.1

Sposta $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Passaggio 12.13.2

Moltiplica $\cos (0)$ per $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Passaggio 12.14

Moltiplica $\cos^{2} (0)$ per $\cos (0)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.14.1

Sposta $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Passaggio 12.14.2

Moltiplica $\cos (0)$ per $\cos^{2} (0)$ .

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Passaggio 12.14.2.1

Eleva $\cos (0)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{7}{3} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Passaggio 12.14.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7}{3} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Passaggio 12.14.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{7}{3} \cos^{3} (0)$

Passaggio 12.15

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{7}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 12.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{7}{3} \cdot 1$

Passaggio 12.17

Moltiplica $\frac{7}{3}$ per $1$ .

$\frac{7}{3}$