Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot 1$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 7.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$