Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Passaggio 1.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Passaggio 1.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Passaggio 1.4

Espandi $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Passaggio 1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Passaggio 1.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1.1

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.1.3.1

Sposta $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.3.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $2 k^{2}$ da $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Passaggio 1.5.3

Somma $k^{3}$ e $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Passaggio 1.6

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

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Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $3$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1.1

Somma $30$ e $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $30$ alla potenza di $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Eleva $31$ alla potenza di $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $900$ per $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $864900$ per $4$ .

$216225$

Passaggio 4

Calcola $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

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Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $30$ e $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $30$ per $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \cdot 930$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 2$ per $930$ .

$- 1860$

Passaggio 5

Somma i risultati delle sommatorie.

$216225 - 1860$

Passaggio 6

Sottrai $1860$ da $216225$ .

$214365$