Calcolo Esempi

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ e ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{2})}^{k}$ da ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $k$ con $0$ in $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 4 \cdot 1$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$a = 4$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ nel numeratore.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $2$ da $2^{11}$ .

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $2$ alla potenza di $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.9

$2$ e $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $2$ per $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $1$ da $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

Passaggio 5.6

Dividi $\frac{2047}{1024}$ per $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Scomponi $4$ da $1024$ .

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2047}{256}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2047}{256}$

Forma decimale:

$7.99609375$

Forma numero misto:

$7 \frac{255}{256}$