Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(i - 1)}^{2}$ come $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

Passaggio 1.2

Espandi $(i - 1) (i - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $i$ per $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $i$ da $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $i$ per $i^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $i$ per $i^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Passaggio 1.5.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $i$ per $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Passaggio 1.6

Moltiplica $i$ per $i$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $i$ per $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Passaggio 1.7

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $3$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $22$ e $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $22$ alla potenza di $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Eleva $23$ alla potenza di $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $484$ per $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $256036$ per $4$ .

$64009$

Passaggio 4

Calcola $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $22$ e $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Moltiplica $22$ per $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.3

Somma $44$ e $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Passaggio 4.3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $506$ per $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Dividi $22770$ per $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $7590$ .

$- 7590$

Passaggio 5

Calcola $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $22$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $2$ da $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Passaggio 5.3.1.2.4

Dividi $11 (22 + 1)$ per $1$ .

$11 (22 + 1)$

Passaggio 5.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Somma $22$ e $1$ .

$11 \cdot 23$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $11$ per $23$ .

$253$

Passaggio 6

Somma i risultati delle sommatorie.

$64009 - 7590 + 253$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sottrai $7590$ da $64009$ .

$56419 + 253$

Passaggio 7.2

Somma $56419$ e $253$ .

$56672$