Calcolo Esempi

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $j$ uguale a $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Passaggio 2.2

Calcola $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 2.2.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Somma $30$ e $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica $30$ per $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 930$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $930$ .

$2790$

Passaggio 2.3

Calcola $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Metti in evidenza $- \frac{4}{3}$ nella sommatoria.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Passaggio 2.3.2

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Somma $30$ e $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.2.1

Moltiplica $30$ per $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Passaggio 2.3.4.1.2.2

Moltiplica $2$ per $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Passaggio 2.3.4.1.3

Somma $60$ e $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $930$ per $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Passaggio 2.3.4.2.2.3

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.4.2.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.4.2.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.3.1

Scomponi $3$ da $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Passaggio 2.3.4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Passaggio 2.3.4.2.4

$- 2$ e $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Passaggio 2.3.4.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Passaggio 2.3.4.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{37820}{3}$

Passaggio 2.4

Somma i risultati delle sommatorie.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per scrivere $2790$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Passaggio 2.5.2

$2790$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Passaggio 2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $2790$ per $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Passaggio 2.5.4.2

Sottrai $37820$ da $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Passaggio 2.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{29450}{3}$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Espandi la serie per ciascun valore di $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Passaggio 3.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.3

$6$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $4$ da $18$ .

$\frac{14}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $14$ da $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{29464}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{29464}{3}$

Forma decimale:

$- 9821.\overline{3}$

Forma numero misto:

$- 9821 \frac{1}{3}$