Calcolo Esempi

$\sin^{2} (4 x + 9)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (4 x + 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (4 x + 9)$ .

$2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x + 9$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x + 9$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + 0)$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \cdot 4$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

Passaggio 1.3.6.3

Riordina i fattori di $8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ .

$f' (x) = 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (4 x + 9)$ e $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

$8 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x + 9$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x + 9$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.4

Eleva $\cos (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.5

Eleva $\cos (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.7.7.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos^{2} (4 x + 9)$ .

$8 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x + 9$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 2.8.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x + 9$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 2.9

Eleva $\sin (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 2.10

Eleva $\sin (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 2.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 2.14

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 2.16

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 2.17

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

Passaggio 2.18

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Somma $4$ e $0$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

Passaggio 2.18.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Passaggio 2.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Passaggio 2.19.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.2.1

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 \cos^{2} (4 x + 9) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Passaggio 2.19.2.2

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$f'' (x) = 32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 \cos^{2} (4 x + 9)$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (4 x + 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (4 x + 9)$ .

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (4 x + 9)$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x + 9$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x + 9$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.7

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.9

Somma $4$ e $0$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- 4 \sin (4 x + 9))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.11

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$32 (- 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $- 8$ per $32$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\sin (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\sin (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $4 x + 9$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\cos (u_{4})$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $4 x + 9$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 3.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])))$

Passaggio 3.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])))$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])))$

Passaggio 3.3.7

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0)))$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 + 0)))$

Passaggio 3.3.9

Somma $4$ e $0$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \cdot 4))$

Passaggio 3.3.10

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (4 \cdot \cos (4 x + 9)))$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9))$

Passaggio 3.3.12

Moltiplica $8$ per $- 32$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $- 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ da $- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ .

$f''' (x) = - 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $- 512$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ rispetto a $x$ è $- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ .

$- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

Passaggio 4.2

$- 512 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x + 9$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x + 9$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.4

Eleva $\cos (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.5

Eleva $\cos (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 512 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.7.7.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos^{2} (4 x + 9)$ .

$- 512 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x + 9$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 4.8.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 4.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x + 9$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Passaggio 4.9

Eleva $\sin (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 4.10

Eleva $\sin (4 x + 9)$ alla potenza di $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 4.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 4.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Passaggio 4.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 4.14

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 4.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 4.16

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

Passaggio 4.17

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

Passaggio 4.18

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.1

Somma $4$ e $0$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

Passaggio 4.18.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Passaggio 4.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Passaggio 4.19.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.2.1

Moltiplica $4$ per $- 512$ .

$- 2048 \cos^{2} (4 x + 9) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Passaggio 4.19.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 512$ .

$f^{4} (x) = - 2048 \cos^{2} (4 x + 9) + 2048 \sin^{2} (4 x + 9)$