Calcolo Esempi

${(2 x + 3)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 3$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 3)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 {(2 x + 3)}^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 3$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 3$ .

$8 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$24 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 3)}^{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(2 x + 3)}^{2}$ come $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [48 ((2 x + 3) (2 x + 3))]$

Passaggio 3.2

Espandi $(2 x + 3) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)]$

Passaggio 3.3.2

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 12 x + 9)]$

Passaggio 3.4

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 (4 x^{2} + 12 x + 9)$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$ .

$48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 12 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $4$ .

$48 (8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.9

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 (8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$48 (8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.11

Moltiplica $12$ per $1$ .

$48 (8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.12

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$48 (8 x + 12 + 0)$

Passaggio 3.13

Somma $8 x + 12$ e $0$ .

$48 (8 x + 12)$

Passaggio 3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$48 (8 x) + 48 \cdot 12$

Passaggio 3.14.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.14.2.1

Moltiplica $8$ per $48$ .

$384 x + 48 \cdot 12$

Passaggio 3.14.2.2

Moltiplica $48$ per $12$ .

$f''' (x) = 384 x + 576$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $384 x + 576$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $384$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $384 x$ rispetto a $x$ è $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$384 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $384$ per $1$ .

$384 + \frac{d}{d x} [576]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $576$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $576$ rispetto a $x$ è $0$ .

$384 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $384$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 384$