Calcolo Esempi

${(9 x + 4)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 9 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x + 4$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 4]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} (9 + 0)$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $9$ e $0$ .

$4 {(9 x + 4)}^{3} \cdot 9$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$f' (x) = 36 {(9 x + 4)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 {(9 x + 4)}^{3}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [{(9 x + 4)}^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(9 x + 4)}^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 9 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x + 4$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$36 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x + 4$ .

$36 (3 {(9 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $3$ per $36$ .

$108 ({(9 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 4])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} (9 + 0)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $9$ e $0$ .

$108 {(9 x + 4)}^{2} \cdot 9$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $9$ per $108$ .

$f'' (x) = 972 {(9 x + 4)}^{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(9 x + 4)}^{2}$ come $(9 x + 4) (9 x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [972 ((9 x + 4) (9 x + 4))]$

Passaggio 3.2

Espandi $(9 x + 4) (9 x + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x + 4) + 4 (9 x + 4))]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x + 4))]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [972 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 9 x \cdot 4 + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 4 (9 x) + 4 \cdot 4)]$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 36 x + 4 \cdot 4)]$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 36 x + 36 x + 16)]$

Passaggio 3.3.2

Somma $36 x$ e $36 x$ .

$\frac{d}{d x} [972 (81 x^{2} + 72 x + 16)]$

Passaggio 3.4

Poiché $972$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $972 (81 x^{2} + 72 x + 16)$ rispetto a $x$ è $972 \frac{d}{d x} [81 x^{2} + 72 x + 16]$ .

$972 \frac{d}{d x} [81 x^{2} + 72 x + 16]$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $81 x^{2} + 72 x + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$972 (\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 3.6

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81 x^{2}$ rispetto a $x$ è $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$972 (81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$972 (81 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $81$ .

$972 (162 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 3.9

Poiché $72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $72 x$ rispetto a $x$ è $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 (162 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$972 (162 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 3.11

Moltiplica $72$ per $1$ .

$972 (162 x + 72 + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 3.12

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$972 (162 x + 72 + 0)$

Passaggio 3.13

Somma $162 x + 72$ e $0$ .

$972 (162 x + 72)$

Passaggio 3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$972 (162 x) + 972 \cdot 72$

Passaggio 3.14.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.2.1

Moltiplica $162$ per $972$ .

$157464 x + 972 \cdot 72$

Passaggio 3.14.2.2

Moltiplica $972$ per $72$ .

$f''' (x) = 157464 x + 69984$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $157464 x + 69984$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [157464 x] + \frac{d}{d x} [69984]$ .

$\frac{d}{d x} [157464 x] + \frac{d}{d x} [69984]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [157464 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $157464$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $157464 x$ rispetto a $x$ è $157464 \frac{d}{d x} [x]$ .

$157464 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [69984]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$157464 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [69984]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $157464$ per $1$ .

$157464 + \frac{d}{d x} [69984]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $69984$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $69984$ rispetto a $x$ è $0$ .

$157464 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $157464$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 157464$