Calcolo Esempi

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.12.1

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.12.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.12.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.12.5

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ per $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ e ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di ${(1 - x)}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi ${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi ${(1 - x)}^{2}$ come $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Espandi $(1 - x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi ${(1 + x)}^{2}$ come $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

Passaggio 4.3.5

Espandi $(1 + x) (1 + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

Passaggio 4.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

Passaggio 4.3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Passaggio 4.3.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Passaggio 4.3.6.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Passaggio 4.3.6.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

Passaggio 4.3.6.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

Passaggio 4.3.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

Passaggio 4.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

Passaggio 4.3.8

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.9

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

Passaggio 4.3.10

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Passaggio 4.3.11

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Passaggio 4.3.11.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Passaggio 4.3.11.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$