Calcolo Esempi

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

Passaggio 1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

$e^{r (θ - t)}$ e $\frac{1}{S}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{1}{S}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ .

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = r (θ - t)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$e^{r (θ - t)}$ e $\frac{1}{S}$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

Passaggio 4.2

Poiché $r$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $r (θ - t)$ rispetto a $t$ è $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

Passaggio 4.3

$r$ e $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

Passaggio 4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $θ - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 4.5

Poiché $θ$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $θ$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 4.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 4.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

Passaggio 4.9.2

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ e $- 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

Passaggio 4.9.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.9.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $r e^{r (θ - t)}$ .

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

Passaggio 4.9.3.2

Riscrivi $- 1 r$ come $- r$ .

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

Passaggio 4.9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

Passaggio 5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$