Calcolo Esempi

$\frac{\tan (x) - 1}{\sec (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \tan (x) - 1$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 4.2

Somma $\sec^{2} (x)$ e $0$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 5

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 5.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 5.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 6

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 7

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 7.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 7.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Passaggio 8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.3.1.1

Moltiplica $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 9.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.3.1.3

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

Passaggio 9.3.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$