Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ è indefinita.

$x = - \frac{5}{6}$

Passaggio 2

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $10$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2.6

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.2.7

Sposta il termine $11$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.4.2

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Passaggio 2.4.3

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 2.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $11$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 2.6.1.2

Somma $10$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $10$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

Passaggio 2.6.2.2

Somma $12$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi $10$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.7

Calcola il limite di $10$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.2.8

Sposta il termine $11$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.4.2

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Passaggio 3.4.3

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Moltiplica $11$ per $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.6.1.2

Somma $10$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Moltiplica $10$ per $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

Passaggio 3.6.2.2

Somma $12$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

Passaggio 3.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Passaggio 5

Per trovare gli asintoti obliqui devi utilizzare la divisione di polinomi. Dal momento che l'espressione contiene un radicale, non è possibile eseguire la divisione di polinomi.

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{5}{6}$

Asintoti orizzontali: $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Impossibile trovare asintoti obliqui

Passaggio 7