Calcolo Esempi

$y = 2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$ rispetto a $v$ è $2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$ .

$2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ è $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ dove $f (v) = \sin (v^{2})$ e $g (v) = \cos (6 v)$ .

$2 (\sin (v^{2}) \frac{d}{d v} [\cos (6 v)] + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ è $f' (g (v)) g' (v)$ dove $f (v) = \cos (v)$ e $g (v) = 6 v$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $6 v$ rispetto a $v$ è $6 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) (6 \frac{d}{d v} [v])) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 4.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \frac{d}{d v} [v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \cdot 1) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ è $f' (g (v)) g' (v)$ dove $f (v) = \sin (v)$ e $g (v) = v^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Passaggio 5.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$- 12 (\sin (v^{2}) (\sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 \cos (6 v) \cos (v^{2}) v$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 v \cos (v^{2}) \cos (6 v)$