Calcolo Esempi

$y z = \ln (x + z)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Poiché $z$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y z$ rispetto a $x$ è $z \frac{d}{d x} [y]$ .

$z \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$z y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + z$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + z$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + z$ .

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + z$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ .

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $z$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $z$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{x + z}$ per $1$ .

$\frac{1}{x + z}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z y' = \frac{1}{x + z}$

Passaggio 5

Dividi per $z$ ciascun termine in $z y' = \frac{1}{x + z}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $z$ ciascun termine in $z y' = \frac{1}{x + z}$ .

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $z$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x + z}$ per $\frac{1}{z}$ .

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

Passaggio 5.3.3

Riordina i fattori in $\frac{1}{(x + z) z}$ .

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$