Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x} (3 x - 1)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia.

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Passaggio 4.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.9

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10

Semplifica.

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Passaggio 4.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.10.2.1

$3$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.2

$x$ e $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.10.2.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 4.10.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.6

Riscrivi $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ come $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.7

Per scrivere $3 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.8

$3 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.11

Somma $6 x^{\frac{1}{2}}$ e $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$