Calcolo Esempi

$y = (16 x + 5) {(4 x - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(4 x - 3)}^{2}$ come $(4 x - 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) ((4 x - 3) (4 x - 3))]$

Passaggio 2

Espandi $(4 x - 3) (4 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3)]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9)]$

Passaggio 3.2

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 24 x + 9)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 16 x + 5$ e $g (x) = 16 x^{2} - 24 x + 9$ .

$(16 x + 5) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9] + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} - 24 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(16 x + 5) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(16 x + 5) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(16 x + 5) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.4

Moltiplica $2$ per $16$ .

$(16 x + 5) (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.5

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.7

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 + 0) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.9

Somma $32 x - 24$ e $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Passaggio 5.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 5.11

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 5.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 5.13

Moltiplica $16$ per $1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 5.14

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + 0)$

Passaggio 5.15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.15.1

Somma $16$ e $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \cdot 16$

Passaggio 5.15.2

Sposta $16$ alla sinistra di $16 x^{2} - 24 x + 9$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 \cdot (16 x^{2} - 24 x + 9)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(16 x + 5) (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $32$ per $16$ .

$512 x \cdot x + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$512 (x^{1} x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$512 (x^{1} x^{1}) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$512 x^{1 + 1} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$512 x^{2} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.6

Moltiplica $32$ per $5$ .

$512 x^{2} + 160 x + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.7

Moltiplica $- 24$ per $16$ .

$512 x^{2} + 160 x - 384 x + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.8

Moltiplica $5$ per $- 24$ .

$512 x^{2} + 160 x - 384 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.9

Sottrai $384 x$ da $160 x$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.10

Moltiplica $16$ per $16$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.11

Moltiplica $- 24$ per $16$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 16 \cdot 9$

Passaggio 6.5.12

Moltiplica $16$ per $9$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 144$

Passaggio 6.5.13

Somma $512 x^{2}$ e $256 x^{2}$ .

$768 x^{2} - 224 x - 120 - 384 x + 144$

Passaggio 6.5.14

Sottrai $384 x$ da $- 224 x$ .

$768 x^{2} - 608 x - 120 + 144$

Passaggio 6.5.15

Somma $- 120$ e $144$ .

$768 x^{2} - 608 x + 24$