Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} + 8}{8 - x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 8$ e $g (x) = 8 - x$ .

$\frac{(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + 0) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $8 - x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica.

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + 1 (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $x^{2} + 8$ per $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \cdot 1}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $x^{2} + 8$ per $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x)) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- x^{2}) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{16 x - 2 x^{2} + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Somma $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{16 x - x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $16 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Riscrivi $- (x^{2} - 16 x - 8)$ come $- 1 (x^{2} - 16 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} - 16 x - 8}{{(- x + 8)}^{2}}$