Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 e^{x} x - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.2

Riordina i fattori in $2 e^{x} x - x^{2} e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3

Scomponi $e^{x} x$ da $2 e^{x} x - e^{x} x^{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $e^{x} x$ da $2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} x (2) - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $e^{x} x$ da $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $e^{x} x$ da $e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)$ .

$\frac{e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} x (2 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Passaggio 4.4.2.4

Dividi $e^{- x} x (2 - x)$ per $1$ .

$e^{- x} x (2 - x)$

Passaggio 4.5

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} x \cdot 2 + e^{- x} x (- x)$

Passaggio 4.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{- x} x$ .

$2 \cdot (e^{- x} x) + e^{- x} x (- x)$

Passaggio 4.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot (e^{- x} x) - e^{- x} x \cdot x$

Passaggio 4.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.8.1

Sposta $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} (x \cdot x)$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$

Passaggio 4.9

Riordina i fattori in $2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$ .

$2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x}$