Calcolo Esempi

$y = \ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.7

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 2.8

$\frac{1}{4 x - 1}$ e $4$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{- 3}{x}$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{4 x - 1} - \frac{3}{x}$

Passaggio 4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1

Per scrivere $\frac{4}{4 x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x}$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- \frac{3}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Passaggio 4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(4 x - 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{4}{4 x - 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{3}{x}$ per $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Passaggio 4.3.3

Riordina i fattori di $(4 x - 1) x$ .

$\frac{4 x}{x (4 x - 1)} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 x - 3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$