Calcolo Esempi

$y = 2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)]$ .

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \tan (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.7

$\sec^{2} (\frac{x}{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.8

$2$ e $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.9.2

Dividi $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$- 1 + \sec^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.2

Riordina $- 1$ e $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Passaggio 4.3

Applica l'identità pitagorica.

$\tan^{2} (\frac{x}{2})$